Spencer nasceu em Yorkshire, em Inglaterra, e estudou na Central School of Speech and Drama, em Londres. Após vários anos a trabalhar em teatros como o Royal Court, o Almeida e o Donmar Warehouse, passou a dedicar-se à televisão. Foi na BBC que Spencer conheceu e trabalhou pela primeira vez com a designer de produção Sarah Greenwood, iniciando uma colaboração próxima e singular. Trabalharam juntas em muitos filmes de sucesso, desde Orgulho e Preconceito até Barbie, bem como no seu mais recente suspense de época, Jack of Spades, realizado por Joel Coen. No ano passado, a National Film and Television School atribuiu a Spencer e Greenwood o seu prestigiado título de Membros Honorários.

O Museu da Academia de Cinema, em Los Angeles, apresenta atualmente uma exposição que destaca o trabalho e a colaboração singular de Spencer e Greenwood.